Студије хармонике и композиције завршио је на Државној музичкој академији “А. В. Нежданова” (Одеса, Украјина) 2003. године. Магистрирао је на Музичкој академији Универзитета у Источном Сарајеву на мултидисциплинарним студијама из предмета Историја и теорија извођаштва на хармоници и Анализа музичког дјела 2011. године. Магистрирао је и композицију на Музичкој академији Универзитета у Источном Сарајеву 2014. године.
Као студент учествовао је на бројним концертима, фестивалима, конференцијама и другим музичким манифестацијама. Косорићева дјела извођена су на концертима студената композиције у оквиру Међународног фестивала-форума „Прошлост и будућност“ (Одеса, 2001. г.). Био је учесник IX Међународног фестивала „TWO DAYS AND TWO NIGHTS OF NEW MUSIC“ (Одеса, 2003. г.). Освојио је прву награду на такмичењу композитора „GRADUS ad PARNASSUM“ у оквиру VIII Међународног форума музике младих (Кијев, Украјина, 2003. г.).
Аутор је симфонијске, камерне, инструменталне и вокално-инструменталне музике. У оквиру свог стваралаштва највећу пажњу посвећује хармоници. Дјела су му извођена на бројним концертима, такмичењима и фестивалима у Украјини, Русији, Литванији, Пољској, Италији, Словачкој, Аустрији, Хрватској, Србији, Словенији, Шведској и БиХ.
Композиције Д. Косорића изводили су, између осталих: украјински умјетници Владимир Мурза (хармоника), Татјана Кравченко (клавир), Татјана Хрикадзе (хармоника), Ирина Серотјук (хармоника), Јелена Гришченко (клавир), Георгиј Матвијив (бандура), Татјана Гордијчук (бандура); Соња Радојковић (клавир), Јован Богосављевић (виолина), Владимир Марковић (виолин) из Србије; Дражен Кошмерл (хармоника) и Љубов Јудченко Кошмерл (сопран) из Хрватске; Белма Шаранчић Находовић (хармоника), Стојан Бојић (хармоника), Драган Рибић (хармоника), Клаудија Кркотић (сопран), Огњен Јањанин (хармоника), Љубо Шкиљевић (хармоника), Милана Смиљанић (виолина), Милан Савић (клавир), Вања Даниловић (хармоника), Маја Ђого (клавир) из БиХ и др. Сарађивао је и са оркестрима, као што су: Оркестар хармоника Руске музичке академије “Гњесини” (умјетнички руководилац и диригент Олег Тарасов), Национални симфонијски оркестар (Одеса, Украјина, диригент “Заслужни умјетник Украјине” Игор Шаврук), Гудачки оркестар Академије умјетности у Бањој Луци (диригент Бранка Радошевић Митровић), Оркестар Музичке академије Универзитета у Источном Сарајеву (диригент Огњен Бомоштар) и Оркестар хармоника Музичке академије Универзитета у Источном Сарајеву.
Као композитор учествовао је на Међународном фестивалу савремене умјетности „TWO DAYS AND TWO NIGHTS OF NEW MUSIC“ у Одеси (2003., 2005., 2008., 2010 и 2015.. г.).
Освојио је прва мјеста на такмичењу композитора у оквиру Интернационалне манифестације Дани хармонике у Смедереву – категорије „А“ и „Б“ (2004. г.); друга мјеста на истом такмичењу у категорији „А“ (2005., 2007. и 2008. г.) и друго и треће мјесто у категорији “Б” (2011. г.); Похвалу за најефектније савремено дело домаћег аутора на XI Пролећном фестивалу камерне музике у Суботици (2004. г.); Диплому лауреата на II Међународном такмичењу композитора за камерне композиције с учешћем хармонике „Санок 2005“ у Пољској.
Композиција Д. Косорића Пуста земља за хармонику соло награђена је у категорији Best New Original Work (Classical) на 67. Свјетском Купу хармонике, одржаном у Салзбургу (Аустрија) од 27. октобра до 2. новембра 2014. године.
На празничном концерту Факултета народних инструмената Руске музичке академије “Гњесини”, поводом 70 година Академије, Оркестар хармоника (умјетнички руководилац и диригент – Олег Тарасов) извео је дјело Д. Косорића “Колаж” за оркестар хармоника и удараљке, као једину тачку Оркестра хармоника на поменутом концерту.
Национална симфонијски оркестар (Одеса, Украјина) премијерно је извео Концерт за хармонику и симфонијски оркестар Д. Косорића, 13. 03. 2015. год., у Одеси (Велика сала филхармоније). Дириговао је “Заслужни умјетник Украјине” Игор Шаврук, а солиста на хармоници је био “Заслужни умјетник Украјине” Владимир Мурза.
У великом амфитеатру Електротехничког факултета Универзитета у Источном Сарајеву, 27. 05. 2015. године, одржано је ауторско вече композитора Дражана Косорића. На концерту су изведена дјела за соло инструменте, камерне ансамбле, солисте и гудачки оркестар и оркестар хармоника. Учесници су били професори и студенти Музичке академије Универзитета у Источном Сарајеву и професори Музичке академије у Сарајеву.
Композиције су му објављене у издањима Музичке академије Универзитета у Источном Сарајеву и њемачке издавачке куће EDITION AVANTUS.
Музичка продукција РТРС је издавач његовог првог ауторског компакт диска под називом Епитаф (2012. г.).
У продукцији БХТ1 снимљена је документарна емисија под називом „Мојој хармоници“, у којој се говори о хармоници и стваралаштву Дражана Косорића за овај инструмент. Емисија је премијерно емитована поводом Свјетског дана музике (21. 06. 2014. год.) и у наредном периоду репризирана у неколико наврата.
У продукцији РТС-овог Радио Стереорама снимљена је једночасовна емисија „Музика с поводом“, посвећена композиторском стваралаштву Д. Косорића. Након премијерног емитовања 21. 02. 2015. године, емисија је репризирана 22. 02. 2015. године. Аутор емисије је Доната Премеру.
Д. Косорић је члан Стручног жирија и Стручног одбора Интернационалног фестивала хармонике АКОРДЕОН АРТ (Источно Сарајево, Б и Х, 2010., 2011., 2012., 2013. и 2014. г.) и члан Организационог одбора истог фестивала (2010., 2011., 2012. г.). Учествовао је у раду Стручног жирија ВИИ. Међународног такмичења акордеониста „Санок 2006“ (Пољска).
Члан је Асоцијације за његовање академске музике „Нови звук“ (Источно Сарајево, БиХ) и Асоцијације „Нова музика“ (Одеса, Украјина).
Педагошки рад на Музичкој академији Универзитета у Источном Сарајеву започео је 2004. г.. Од 2012. г. је у наставном звању доцента.
Оснивач је и умјетнички руководилац Оркестра хармоника Музичке академије, са којим има забиљежене наступе на значајним манифестацијама, као што је Интернационални фестивал хармонике „Акордеон арт“ (2010., 2011., 2012., 2013. и 2014. г.).
Студенти у класи Д. Косорића (хармоника и камерна музика) освојили су више награда на домаћим и међународним такмичењима, као што су: 17. Такмичење музичких школа Републике Српске (Бања Лука), Девето такмичење ученика и студената музике (Ливно), 15. Отворено федерално такмичење ученика и студената музике (Сарајево), 35. Међународни сусрет хармоникаша (Пула), Даворин Јенко (Београд), , Дани хармонике (Угљевик), Акордеон арт (Источно Сарајево) и др.
Добитник је ПРИЗНАЊА декана Музичке академије Универзитета у Источном за успјешно промовисање Музичке академије на домаћој и међународној концертној сцени (2008., 2010. и 2011. г.) и ПРИЗНАЊА за остварене резултате студената на домаћим и међународним такмичењима (2013. и 2014. г.).
Добитник је ПЛАКЕТЕ УНИВЕРЗИТЕТА за достигнућа у наставној и научној дјелатности Универзитета, као и за дугогодишњи успјешан рад на Музичкој академији Универзитета у Источном Сарајеву (2014. г.).